Cours de Géométrie

Espaces Euclidiens et Hermitiens

Groupes d’isométries

Projections

Techniques

x

La projection orthogonale, c’est l’ombre à midi, lorsque le “soleil” est perpendiculaire au “plan”.

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Si on soustrait la projection de $b$ sur $a$ à $b$, on obtient la composante orthogonale de $b$ par rapport à $a$.

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Projection d’un vecteur

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La projection orthogonale $b'$ d’un vecteur $b$ sur un autre vecteur unitaire $a$ est liée au produit scalaire par:

• $b'=\langle b, a \rangle\ a$ </aside>

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La projection orthogonale $a'$ d’un vecteur $a$ sur un sous-ensemble $D$ définit par une base orthonormée $(d_1, d_2, \dots, d_m)$ est

• $a'= p_D(a)=\sum_{i=1}^m \langle a, d_i \rangle d_i$ </aside>

Matrice de projection

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La matrice de projection d’un espace vectoriel $E = \mathbb{K}^n$ vers le sous-espace vectoriel $D \subset E$ se note $P$

• $P\in M_n(\mathbb{K})$

• pour une base orthonormée $(d_1, d_2, \dots, d_m)$ de $D$, nous calculons $P$ comme la projection des vecteurs de la base canonique $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ sur $D$

  $P = (p_{D}(e_1), p_{D}(e_2), \dots, p_{D}(e_n))$

• $P = D\ \ {}^tD$ où $D$ est la matrice formée des vecteurs $d_i$ en colonne

• $P={}^t P$: la matrice est symétrique et idempotente $P^2 = P$ </aside>

La colonnes $j$ de la matrice représente ainsi la projections du vecteur de la base canonique $e_j$ dans $D$.

• ⚠️ Ne pas confondre avec le changement de base

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Calculs pour un vecteur $a\in E$ et un sous espace $D$

• projection sur D: $a'=Pa$
• composante orthogonale: $a^{\perp} = a - a' = a - Pa$
• recomposition: $a = a^{\perp} + a'$
• distance: $d = \|a^{\perp}\|$ </aside>

TODO

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Soit $p$ un morphisme de $E \rightarrow E$, si $p$ est un projecteur, nous avons:

• $p \circ p = p$

• $E = \text{Ker}(p) \oplus \text{Im}(p)$

• $\forall a \in E, a = k + i$ avec $k\in \text{Ker}(p)$ et $i\in \text{Im}(p)$ Tout élément de $E$ peut être écrit comme la somme d’un élément du noyau et d’un élément de l’image.

• $\text{Ker}(p) \cap \text{Im}(p) = \set{0}$ </aside>

• ⚠️ la réciproque n’est pas vraie $E = \text{Ker}(p) \oplus \text{Im}(p) \not{\implies} p\circ p = p$

Adjoint

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Soit $(E, \langle \cdot, \cdot, \rangle)$ un espace préhilbertien muni du produit scalaire. L’unique adjoint d’un endomorphisme $f$, noté $f^*$ est l’unique endomorphisme de $E$ qui vérifie

• $\langle f(a), b \rangle = \langle a, f^*(b) \rangle$

• Dans $\R^2$, l’adjoint est donné par la transposée. </aside>

• Exemples