Cours de Géométrie

Guide de survie

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Espace vectoriel : ensemble muni d’une addition vectorielle (formant un groupe abélien) et d’une multiplication par scalaires (éléments d’un corps), satisfaisant les axiomes de compatibilité. C’est la structure abstraite qui généralise conceptuellement les vecteurs du plan ou de l’espace.
Espace euclidien : espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire positif défini, qui permet de mesurer longueurs et angles, donc de faire de la géométrie euclidienne (distance, orthogonalité).
Forme bilinéaire : application qui prend deux vecteurs et renvoie un scalaire, linéaire en chacun des deux arguments. Elle généralise le produit scalaire mais n’est pas forcément symétrique ou définie positive.
Produit scalaire : forme bilinéaire symétrique positive définie sur un espace vectoriel réel, permettant de définir longueurs (norme) et angles. C’est la base de la géométrie euclidienne.
Norme : application qui associe à chaque vecteur un nombre réel positif, satisfaisant certaines propriétés (positivité, homogénéité, inégalité triangulaire), souvent dérivée d’un produit scalaire dans l’espace euclidien.
Base : une famille de vecteurs indépendants linéairement qui génère tout l’espace vectoriel, permettant d’exprimer chaque vecteur comme combinaison linéaire unique des vecteurs de la base.
Dimension : cardinal de toute base d’un espace vectoriel, c’est-à-dire le nombre minimal de vecteurs nécessaires pour « couvrir » l’espace.
Sous-espace vectoriel : sous-ensemble non vide stable par addition et multiplication par scalaires, lui-même formant un espace vectoriel.
Application linéaire : fonction entre espaces vectoriels qui respecte l’addition et la multiplication par scalaires.
Diagonalisation : processus qui consiste à trouver une base dans laquelle une application linéaire (ou matrice) est représentée par une matrice diagonale. </aside>

Pré-requis

Espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$.

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Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ est une structure algébrique composée de:

$(E, +)$, un groupe abélien, soit
- associativité $a+(b+c) = (a+b)+c$ pour tout $a,b,c$ dans $E$.
- élément neutre ($0_E$) (vecteur nul)
- symétriques (opposés) $a + a' = 0_E$
- commutativité $a+b=b+a$
$\mathbb{K}$ est un corps commutatif $(\mathbb{K}, +, \times, 0_{\mathbb{K}}, 1_{\mathbb{K}})$
$(\lambda, u) \rightarrow \lambda \cdot u$ est une application du monoïde $(\mathbb{K}, \times)$ sur l’ensemble $E$ vérifiant:
- compatibilité scalaire $(\lambda \mu)\cdot a = \lambda(\mu \cdot a)$ pour tout $\lambda, \mu\in \mathbb{K}$ et $a\in E$
- élément neutre $1_\mathbb{K}$ tel que $1_{\mathbb{K}} \cdot a = a$
- distributivité pour l’addition des vecteurs: $\lambda\cdot(a+b) = \lambda\cdot a + \lambda\cdot b$
- distributivité pour l’addition des scalaires: $(\lambda + \mu)\cdot a = \lambda\cdot a + \mu\cdot a$ </aside>

Sous-espace vectoriel

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Pour qu’un sous-ensemble $D \subset E$ forme un sous-espace vectoriel de $E$, il doit

être un sous-groupe abélien de $(E,+)$, soit être
- stable par l’addition $+$
- contenir le vecteur nul $0_E$
stable par multiplication externe: pour tout $d\in D$ et $\lambda\in \mathbb{K}$ nous devons avoir $\lambda\cdot d\in D$ </aside>

Applications $\varphi$

Linéarité

La linéarité d’une application $\varphi$ de $E\times E \rightarrow \mathbb{K}$ signifie que $\varphi$ est un morphisme d’espace vectoriels. (voir le cours d’Algèbre).

Une des conditions requise pour la linéarité, c’est que l’on doit pouvoir “sortir” le scalaire de l’opération, ce qui n’est pas possible si les coordonnées entre les deux termes sont ajoutées au lieu d’être multipliées.

Par exemple: $\varphi(a,b) = a_1 b_2 \implies$oui car $(\lambda a_1)b_2 = \lambda(a_1 b_2)$ (associativité de la multiplication sur un corps).

Mais $\varphi(a,b) = a_1 + b_2 \implies$non: $\lambda a_1 + b_2 \neq \lambda(a_1 + b_2)$