Cours de Topologie

Rappels d’analyse réelle

Normes et suite convergentes

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Définitions

Vecteur

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Soit une base (famille libre et génératrice) de $\R^n$, $\set{e_1, e_2, \dots, e_n}$.

• Tout vecteur $a\in\R^n$ peut s’écrire de manière unique

$$ a = \sum_{i=1}^n a_i e_i $$

• où les nombres réels $a_i$ désignent les coordonnées de $a$ dans la base $\set{e_1, e_2, \dots, e_n}$ </aside>

On note

$$ a = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right) = {}^t(a_1, a_2, \dots, a_n) $$

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En tant qu’espace vectoriel euclidien, $\R^n$ possède

• une loi interne (addition) $a+b\ \overset{\mathrm{déf}}{=}\ {}^t(a_1+b_1, \dots, a_n+b_n) \in \R^n$
• une loi externe (multiplication par un scalaire) $\lambda a\ \overset{\mathrm{déf}}{=}\ {}^t(\lambda a_1, \dots, \lambda a_n) \in \R^n$ </aside>

Norme

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On appelle norme sur $\R^n$ ****une application

• $N: \R^n \to \R_+,\quad a \mapsto \|a\|$

Telle que pour tout $a$, $b$ de $\R^n$ et tout réel $\lambda$:

1. Séparation : $N(a) = 0 \iff a = 0_{\R^n}$
2. Homogénéité : $N(\lambda a) = |\lambda|\ N(a)$
3. Inégalité triangulaire : $N(a+b) \le N(a) + N(b)$ </aside>

• Exemples

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On dit que la norme est continue en un point $a^0$ si:

$$ \forall \varepsilon \gt 0, \exists \eta \gt 0, \forall a\in E, \|a - a^0\| \lt \eta \implies |\|a\| - \|a^0\|| \lt \varepsilon $$

</aside>

La norme est continue en tout point de $E$ puisque, pour toute suite $(a^k)_{k\in\mathbb{N}}$ qui converge vers $a^0$, la suite réelle $(\|a^k\|)$ converge vers $\|a^0\|$: il n’y a pas de saut entre la convergence des vecteurs et la convergence de la norme. La “continuité” signifie que l’on préserve la “proximité”: si deux vecteurs sont proches, alors leur normes le sont également: la norme “respecte” la topologie de l’espace. La continuité exprime que si $a^n \to a^0$, alors $f(a^n) \to f(a^0)$.

Cette continuité est une conséquence directe de l’inégalité triangulaire.

Distance relative

Voir le produit scalaire pour une définition générale de distance $d: E\times E \to \R_+$

Produit scalaire

<aside> 💎 La distance relative à $N$ entre deux vecteurs $a$ et $b$, notée

• $d_N(a,b) = N(a-b)$

• En particulier: $N(a) = d_N(a, 0_{\R^n})$ </aside>

• Attention: il existe des distances qui ne sont pas associée à une norme.