Rappels d’analyse réelle

Cours de Topologie

Définitions

Depuis les nombres dans $\mathbb{N}$ nous construisons l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$:

$$ r = \frac{p}{q}, \qquad (p\in\mathbb{Z},\ q\in\mathbb{N^*}) $$

$(\mathbb{Q}, +, \times)$ est un corps avec l’addition, la multiplication et leurs inverses. La relation d’ordre usuelle en fait un corps totalement ordonné.

On sait depuis les temps babyloniens (-1800), et ce démontré par Euclide que $d\notin \mathbb{Q}$

Preuve que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$

De même, nous savons depuis 1761 que $\pi\notin\mathbb{Q}$ et aussi que $e\notin\mathbb{Q}$.

Il nous manque donc un ensemble au-delà de $\mathbb{Q}$.

Majoration

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On dit qu’une partie $A$ de $\R$ est majorée si

$\exists M\in\R, \ \forall x\in A,\ x \leq M$ </aside>

Borne supérieure

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On appelle borne supérieure le plus petit des majorants de $A$

$\text{sup}\ A$ est un majorant de $A$
Il existe une suite $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ d’éléments de $A$ qui converge vers $\text{sup}\ A$. </aside>

Corps des nombres réels $\R$

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Il existe (à isomorphisme près) un unique corps totalement ordonné qui satisfait l’axiome de la borne supérieure:

toute partie non vide et majorée de ce corps admet une borde supérieure. </aside>

<aside> 👓

On peut aussi dire que c’est l’unique corps totalement ordonné qui soit à la fois

archimédien $(\forall x\in \R, \exists n\in\mathbb{N}, n \gt x)$.
complet (toute suite de Cauchy converge). </aside>

Limite d’une suite

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Soit $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels.

On dit que la suite $(x_k){k\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $l$ si et seulement si $\forall \varepsilon > 0,\ \exists k{\varepsilon}\in \mathbb{N},\ \forall k \gt k_{\varepsilon} \implies |x_k - l| < \varepsilon$ </aside>