Cours d’Algèbre

Anneaux

Anneau

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$(E, +, 0_E)$ est un groupe (loi associative, commutative, élément neutre, inverse).
$(E, \times,1_E)$ est un monoïde (loi associative, élément neutre).
$\times$ est distributive par rapport à $+$ </aside>

Vérification des axiomes d’anneau. (GroMoDi)

La distributivité (point 3), signifie que pour tous $a,b,c \in E$, on a $a \times (b + c)=(a \times b) + (a \times c)$ et $(b+c)\times a = (b\times a) + (c\times a)$.

Exemples
Et si $0_A$ = $1_A$ ? (anneau nul)
Exemples d’ensembles des éléments inversibles $\mathbb{A}^{\times}$
Preuve que $\forall\ a\in \mathbb{A},\ a\times 0_\mathbb{A} = 0_\mathbb{A}$ (absorption de $0_\mathbb{A}$)

Anneau commutatif

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$(E, +, \times, 0, 1)$ est un anneau.
$\times$ est commutative. $a\times b = b\times a$ </aside>

Anneau intègre

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L’anneau n’a pas de diviseurs de zéro. ****$\forall a,b \in \mathbb{A}\quad ab = 0_{\mathbb{A}} \implies (a = 0_{\mathbb{A}}) \vee (b = 0_{\mathbb{A}})$
L’anneau est commutatif. $a\times b = b\times a$ </aside>

On veut résoudre une équation du type $ax=b$ mais certains anneaux ($\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$) donnent plusieurs réponses. Par exemple dans $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$, $\dot{4}x = \dot{8}$ a comme solutions $x = \{\ \dot{2},\dot{7}\ \}$, ou aucune: $\dot{5}x = \dot{3}$.

On peut se poser la question de savoir quels sont les anneaux $(\mathbb{A},+,\times)$ vérifiant l’unicité de la solution, soit: