Cours d’Algèbre

Relations et Opérations

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Anneaux et Corps

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Idéaux

Quotients

Références et liens

Notes sur le cours de Gilles Bailly Maitre sur les idéaux.

Exemples:

• Dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, $\dot{4}$ est la class d’équivalence de l’entier $4$ modulo l’idéal $7\mathbb{Z}$.

Sous-groupe

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1. est un sous-ensemble de $G$ $H \subseteq G$
2. contient l’élément neutre de $G$ $e_G \in H$
3. stable pour la loi de $G$ $\forall a,b\ \in H, a\ \hearts\ b \in H$
4. stable par passage au symétrique $\forall a \in H,\ a^{-1} \in H$ </aside>

Sous-anneau

Soit $(\mathbb{A},+,\times)$ un anneau et $P\subset\mathbb{A}$.

<aside> 💎

1. stable par l’addition $+$ et par l’opposé (sous-groupe). Donc on prouve: $\forall x,y \in P, x-y \in P$
2. stable par la multiplication: $\forall x, y \in P, x \times y \in P$
3. élément neutre de la multiplication dans $P$ $1_{\mathbb{A}} \in P$ </aside>

• Exemples

Bof, bof les sous-anneaux…

Noyau d’un morphisme

<aside> 💎

Si $f: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{B}$ est un morphisme d’anneau, $\ker f$ ****est un sous-groupe de $(\mathbb{A}, +)$ et donc il ne contient en général pas $1_\mathbb{A}$.

</aside>

• Justification

Dans un morphisme d’anneau,

$f(a\ \hearts\ b) = f(a)\ \diamonds\ f(b)$

et donc dans le noyau d’un morphisme,

$\forall\ a \in \text{ker} f,\ \forall\ b \in \mathbb{A}$ $f(a\ \hearts\ b) = f(a)\ \diamonds\ f(b) = 0_\mathbb{B}\ \diamonds\ f(b) = 0_\mathbb{B}$