Cours d’Algèbre
Soit une fonction $f$ de $E$ dans $F$ et supposons qu’il existe un loi $\hearts$ dans $E$ et une loi $\diamonds$ dans $F$ tel que $(E,\hearts)$ et $(F,\diamonds)$ sont des groupes.
Définition:
Soit $(E,\hearts)$ et $(F,\diamonds)$ deux groupes muni des opérations respectives $\hearts$ et $\diamonds$ (qui peuvent être l’addition, la multiplication de matrices, ou n’importe quelle opération). Soit $f$ une application de $E$ dans $F$. On dit que $f$ est un morphisme de groupe de $(E,\hearts)$ vers $(F,\diamonds)$ si et seulement si:
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$\forall a,b \in E, f(a\ \hearts\ b) = f(a)\ \diamonds\ f(b)$
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L’application de la fonction $f$ préserve les opérations effectuées sur les antécédents: que les opérations soient réalisées avant selon l’opération dans $E$ ou après application de $f$ selon l’opération dans $F$, le résultat reste le même.
Soit $f$ un morphisme de groupe entre $(E,\hearts)$ et $(F,\diamonds)$.
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$f(n_E) = n_F$
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L’application de $f$ sur l’élément neutre de $E$ donne l’élément neutre de $F$.
Pour déterminer si $f$ est un morphisme, appliquer $f$ avec l’élément neutre peut être un bon moyen de trouver rapidement si c’est un morphisme. Si $f(n_E) \neq n_F$, on sait que c’est pas le cas.
Soit $f$ un morphisme de groupe entre $(E,\hearts)$ et $(F,\diamonds)$.