Cours d’Algèbre
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Références et liens
Notes du cours d’Algèbre de Gilles Bailly Maitre sur youtube.
Loi de composition interne
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Sur un ensemble $E$, une loi de composition interne
- Est une opération binaire $E\times E \rightarrow E$
- Est définie pour tous les éléments de $E$
- Donne un résultat qui reste dans $E$ (stabilité)
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On la note souvent $x \star y$ ou avec d’autres symboles selon le besoin: $x\ \diamonds\ y$, etc.
L’élément neutre
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L’élément neutre $e$ de $E$ pour $\star$ est l’élément tel que pour tout $x$ dans $E$
- $x \star e = e \star x = x$
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Associativité
Maintenant que nous avons une opération entre deux élément comment définir $x \star y \star z$ sans ambiguïté ? Attention ça peut être associatif, sans être commutatif !
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La loi est dite associative si
- $(x \star y) \star z = x \star (y \star z)$
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Monoïde
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Un monoïde $(E, \star, e)$ est une construction algébrique formée
- d’un ensemble $E$
- d’une loi de composition interne $\star$ qui est associative
$\forall\ (a,b,c)\in E^3,\ (a\star b)\star c = a\star (b\star c)$
- d’un élément neutre $e$ dans $E$ pour la loi $\star$
$\forall\ a \in E,\ a\star e = e\star a = a$
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Commutativité
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La loi est dite commutative ou abélienne si
- $x \star y = y \star x$
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