Cours d’Algèbre
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Une relation binaire $R$ au sein d’un ensemble $X$ est
Un sous-ensemble de $X\times X$
C’est l’ensemble des couples $(a,b)\in E^2$ tel que $a$ est en relation avec $b$ via $R$ avec $R\subset X\times X$
On note $aRb$ ou $(a,b)\in R$.
L’ensemble des couples $(a,b)$ forme un graphe. </aside>
Exemples
Définitions
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On dit que la relation est
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On nomme relation d’ordre (souvent notée $≤$) une relation binaire si elle est:
réflexive: $xRx$
antisymétrique: $[xRy\text{ et }yRx]\implies x=y$
transitive: $xRy\text{ et }yRz\implies xRz$ </aside>
Exemples
Vérification pour une relation d’ordre (RéAntiTran)
On peut munir l’ensemble $\mathbb{N}$ de deux opérations binaires $+$ et $\times$. Ces opérations sont associatives et commutatives, avec pour éléments neutres respectifs $0$ et $1$. De plus, la multiplication est distributive par rapport à l’addition. $(\mathbb{N},+,\times,0,1)$ n’est pas un anneau parce que l’addition n’a pas de symétrique pour tout élément de $\mathbb{N}$ différent de $0$.
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On définit la relation binaire $≤$ comme suit. Pour tout $(n,m)\in \mathbb{N}^2$ $n≤m \iff \exists k\in \mathbb{N}, n+k=m$
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Cette relation est une relation d’ordre totale, dont $0$ est le plus petit élément.
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L’application successeur $\mathbb{N} \xrightarrow{S} \mathbb{N}$ donnée par $S(n) = n+1$ est un morphisme de relations d’ordre $(\mathbb{N},≤) \xrightarrow{S}(\mathbb{N},≥)$.
C’est un application croissante.
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Toute partie non-vide de $\mathbb{N}$ possède un plus petit élément.
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