Cours d’Algèbre
Voir le cours de Gilles Bailly Maitre sur les Anneaux Quotients.
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Une relation d’équivalence (souvent notée $\sim$) si elle est
C’est une relation qui est réflexive (tout élément est lié à lui-même), symétrique (si un élément est lié à un autre, alors l’autre est lié au premier), et transitive (si un élément est lié à un second, et ce second à un troisième, alors le premier est lié au troisième).
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Pour chaque élément, la classe d'équivalence contient tous les éléments équivalents à cet élément (par exemple, tous les vecteurs colinéaires entre eux, tous les nombres congrus modulo n, etc.). On note parfois cette classe:
$$ \dot{r_k} = \set{ y\in E, y\sim r_k } $$
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L’application $\pi$ qui à chaque élément de $A$ associe la classe d’équivalence de $A/\mathcal{R}$ est appelée projection canonique:
$$ \begin{align*} \pi:\quad & E\to E/\mathcal{R} \\ & y \mapsto \dot{r_k} \end{align*} $$
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Les classes d’équivalence sont disjointes entre elles: un élément appartient à exactement une classe. Ces classes forment donc une partition de l’ensemble de départ (on coupe en morceaux).
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Ensemble quotient : c’est l’ensemble formé de toutes les classes d’équivalence. Cela signifie qu’on “regroupe” les éléments équivalents et qu’on considère chaque groupe comme un seul “objet nouveau” (une classe).
$$ E/\mathcal{R} = \set{ \dot{r_0}, \dots, \dot{r_{n-1}} } $$
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Soit $(\mathbb{A},+,\times)$ un anneau commutatif (unitaire) et un ensemble $I\subset \mathbb{A}$.
On définit une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $\mathbb{A}$ par:
$$ \forall x,y \in \mathbb{A}, x\mathcal{R}y \iff x - y \in I $$
Cette relation est une relation d’équivalence si elle est
Réflexive: $x\mathcal{R}x \iff x - x \in I$. Donc $0_{\mathbb{A}} \in I$.
Symétrique: $x\mathcal{R}y \iff y\mathcal{R}x$, ceci implique que $a\in I \iff -a\in I$.
Transitive: $\forall x,y,z \in \mathbb{A}, (x\mathcal{R}y\text{ et }y\mathcal{R}z) \implies x\mathcal{R}z$
$(x-y \in I\text{ et }y-z \in I)\implies x-z \in I$
Autrement dit $(a \in I\text{ et }b \in I)\implies a + b \in I$.
$\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence $\iff$ ****$I$ est un sous-groupe de $(\mathbb{A}, +).$
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On peut définir la classe d’équivalence $\dot{r_k}$ comme:
$$ \dot{r_k} = r_k + I = \set{r_k + j, j\in I} $$
Donc l’ensemble quotient, c’est:
$$ \mathbb{A}/\mathcal{R} = \set{r_k+I, r_k\in \mathbb{A}} = \mathbb{A}/I $$
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Mais si on veut calculer avec ces ensembles quotients, il nous faut une addition et une multiplication bien définies:
On écrit l’addition: $\dot{a} + \dot{b} = a + I + b + I = a + b + I$, c’est simple.
Pour la multiplication:
$\dot{a}\times\dot{b} = (a + I)(b + I) = (a + j)(b + k) = ab + jb + ak + jk$ pour le cas particulier où $j=0$, nous avons:
$\dot{a}\times\dot{b} = ab + ak$. Nous devons donc avoir $ak\in I$.
Donc $I$ doit être un idéal de $\mathbb{A}$.
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